Representação de números inteiros com sinal

• com 4 bits, 2⁴ valores distintos e positivos
• pensando só em inteiros não negativos, podemos então representar números de 0..15.
• e de que forma podemos acrescentar um sinal usando esses mesmos 4 bits? de qualquer forma continuam sendo 2⁴ valores distintos.
  • uma forma é usar o bit mais significativo (chamada de representação por sinal e magnitude):

    ex 4 bits: 0000 ... 0111 : 0 a 7 decimal
               1001 ... 1111: -1 a -7 decimal
    	   1000 -> ? (2 representações para o zero??)
    

  • mas a forma mais usual é o complemento a dois

Complemento a 2

ex 3 bits

binário		comp. a 2
000		0
001		1
010		2
011		3
100		-4 *
101		-3
110		-2
111		-1

• na realidade, estamos usando representação módulo 2^k, onde k é o número de bits usado na representação. Podemos pensar de forma circular:

                    0
                 * 000 *
           -1  * 111 001 *  1
              *           *
         -2  * 110     010 *  2
             *             *
              *           *
           -3  * 101 011 *  3
                 * 100 *
                   -4
  
  

• com n bits, que valores distintos podem ser representados? : 2ⁿ : -(2^n-1) ... 2^n-1 - 1
• representação de x em complemento a 2 em n bits:

  se x >= 0, rep(x) = x
  se x < 0, rep(x) = 2n+x
  

• Para encontrar a representação em complemento a 2, podemos seguir essa regra.
  • Por exemplo, rep(-5) em 8 bits:

    rep(-5) = 28 + (-5) = 251 = FB16
    

  • Pode se tornar muito trabalhoso quando o número de bits é muito grande...
• outro método: encontrar a representação de (-x), inverter bit a bit e adicionar 1:

  2k+x = (2k-1) - (-x) + 1
         ************
         complemento bit a bit de (-x)
  

Limites

• Qual o maior número inteiro que podemos representar usando unsigned e 8 bits?
• Qual o maior número inteiro que podemos representar usando signed e 8 bits?
• E qual o menor?
• Qual o maior número inteiro que podemos representar usando unsigned e 16 bits?
• Qual o maior número inteiro que podemos representar usando signed e 16 bits?
• E qual o menor?
• Qual o maior número inteiro que podemos representar usando unsigned e 32 bits?
• Qual o maior número inteiro que podemos representar usando signed e 32 bits?
• E qual o menor?

extensão de representação

• como fazer para estender o mesmo número originalmente em 8 bits para 16 bits? e 32 bits?
  • depende se número é representação com sinal, em complemento a 2 (nesse caso repetimos o bit mais significativo até preencher todos os bits à esquerda) ou se é unsigned (nesse caso preenchemos à esquerda com zero)
  • essa diferença tipicamente vai se refletir em algumas instruções da linguagem de máquina
• e o contrário?

• perguntas:
  • qual número é representado por 1100 0001?
  • quantos bits são necessários para representar o valor decimal 3025?

Operadores Relacionais

• As operações de comparação têm que levar em conta se os valores comparados são unsigned ou em complemento a dois!
• Em assembler, o programador tem que usar operações diferentes em cada caso.
• O compilador C gera código com a operação correta dependendo da declaração dos tipos envolvidos.
• CUIDADO: Em C, em expressões que envolvem valores signed e unsigned, todos os valores são tratados como unsigned!

Soma e Subtração

• uma enorme vantagem da representação em complemento a 2 é que todas as somas e subtrações são resolvidas com um mesmo algoritmo de adição;
• a aritmética módulo 2ⁿ garante que o resultado da soma é sempre correto, mesmo que estejamos somando números de sinais diferentes.
  • ex: rep[1-2 (modulo 8)] = rep[1+(-2) modulo 8] = (1 modulo 8) + (-2 modulo 8) = 1+6 = 7 = rep(-1 modulo 8)
  • a menos de situações de overflow!

Overflow

• ocorre quando o resultado (x+y) não é representável em n bits;
• como é detectado em complemento a 2?
  • se números têm sinais diferentes, nunca ocorre;
  • se ambos são positivos, ocorre quando há carry do penúltimo bit para o último (e nesse caso nunca há carry do último bit para fora)
  • se ambos são negativos, ocorre quando não há carry do penúltimo bit para o último (e nesse caso sempre há carry do último bit para fora)
  • ... quando os dois carrys são diferentes o hardware marca uma condição de overflow!
  • essa condição é marcada em qualquer soma, mas só faz sentido se os números estão em complemento a 2!
  • para unsigned, o overflow é indicado por uma outra condição, que simplesmente indica se houve carry do último bit para fora!

Referência:

• CSPP, seção 2.2